Lezione 5: Principio di relatività di GALILEO ( invarianza per trasformazioni)Lavoro ed Energia.

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Galileo studio i moti in vari sistemi di riferimento e concluse una cosa molto interessante e fondamentale nella fisica, procediamo per gradi…arrivando al concetto importante di Lavoro ed Energia.

Prendiamo due sistemi di riferimento Inerziali che si muovono di moto rettilineo uniforme l’uno rispetto all’altro e un corpo P che si muove nello spazio e proviamo a stabilirne il moto. Indichiamo con S un particolare SI e con S’ l’altro SI che si muove con velocità V rispetto al primo. Scegliamo anche un SC in modo tale che gli assi di S siano ( x,y,z) e che gli assi di S’ siano (x’,y’,z’) ( vedi figura 1).

 

 

 

prima di analizzare il moto confrontiamo la misura dei tempi e di lunghezze riferite ai due sistemi:

 

Per i Tempi  t

Supponiamo di avere due orologi uguali e che uno venga posto lungo l’asse x nel sistema S a un certa ora esempio alle 12:00, e la stessa cosa venga fatta per il sistema S’. Possiamo confrontare a questo punto le due ore, e se il tutto in una velocità molto inferiore a quella della Luce, l’esperienza conferma che i due orologi sono sincronizzati cioè che il tempo, tS=tS’, che riflette il carattere assoluto del Tempo.

OSSERVAZIONE Questo risultato non è sempre vero per tutte le velocità, infatti più avanti vedremo che alle velocità prossime alla velocità della luce le cose sono un’pò diverse….

 

Per le Lunghezze  l

immaginiamo di prendere una sbarra lunga un metro, sia rispetto a S sia rispetto a S’( che ricordo si muove con una velocità V rispetto a S. Ora domandiamoci  come vede un osservatore posto in S la lunghezza della sbarra in S’?.

Gli orologi usati prima ci aiutano a capire e a registrare le posizioni che entrambe gli estremi dell’asta in movimento occupano simultaneamente, ciò quando gli orologi di S che si trovano a coincidere con gli estremi segnano lo stesso orario. Questo vuol dire che lS=lS’,che riflette il carattere assoluto dello Spazio.

OSSERVAZIONE Questo risultato non è sempre vero per tutte le velocità, infatti più avanti vedremo che alle velocità prossime alla velocità della luce le cose sono un’pò diverse….

 

Siamo giunti a un risultato importate che per i due osservatori posti nei rispettivi Sistemi di Riferimento Tempi e Lunghezze sono le stesse per entrambi.

 

Ora studiamo il moto del corpo P grazie alle regole dei vettori posso dire che (vedi sempre figura 1.1): OP=OO’+O’P. Dopo un certo tempo t l’origine si sposta il suo spostamento è dato da OO’=V.t’ sostituendo in OP=OO’+O’P si ha : OP= V.t’+O’P cioè se scriviamo il tutto  in termini di proiezioni sugli assi delle coordinate ( ecco il passaggio da Sistema di riferimento ( il laboratorio) a sistema di coordinate) si ha: x=x’+Vt’ e ricordando quanto detto per i tempi e le lunghezze possiamo concludere stipulandole relazioni o trasformazioni importanti di Galileo*:

 

x=x’+Vt’

y=y’

z=z’

tS=tS’

lS=lS’

 

*simili relazioni si hanno anche in relatività di Einstein e vanno sotto il nome di trasformate di Lorenz, ma tali relazioni si usano solo quando siamo alle velocità prossime alla velocità della luce, vedremo in futuro….

 

Faccio ora un’osservazione importantissima:

 

Non dimentichiamo il nostro obbiettivo di partenza cioè lo studio del moto di P, dunque vediamo cosa accade alla Accelerazione.

 Se deriviamo ( per questa operazione di derivata rimando alla lettura di un testo di Analisi matematica) la rispetto a t x=x’+Vt’ otteniamo che v=V’+V dove rispettivamente v è velocità del corpo rispetto a S, V’ velocità del corpo rispetto a S’e V è velocità di trascinamento costante. Sapendo dalla matematica che la derivata di una costante è = a zero allora possiamo dedurre che a=a’+0 quindi aS=aS’ dove aS è accelerazione del corpo rispetto a S a’ è accelerazione del corpo rispetto a S’. Si conclude che anche l’accelerazione è invariante per trasformazioni di Galileo.

 

Questa conclusione porta una conseguenza di enorme importanza: il sistema S si è supposto inerziale quindi il corpo P si muove senza accelerazioni, la relazione trovata ci dice che anche S’è inerziale.

 ogni sistema di riferimento che si sposta con moto rettilineo e uniforme rispetto al primo a un sistema inerziale E’ ESSO STESSO UN SSTEMA DI RIFERIEMTO INERZIALE..

 

Quindi anche la forza F non cambia quando si passa da un sistema inerziale ad un altro  F=F’anche la forza è un’invariante per trasformazioni di Galileo. Le leggi dei moti sono le stesse sia in S che in S’

In altre parole : Le leggi di Newton SONO INVARIANTI RISPETTO ALLE TRASFORMAZIONI  DI GALILEO  tale affermazione esprime  il PRINCIPIO DI RELATIVITA’DI GALILEO GALILEI

 

OSSERVAZIONE IMPORTANTE Stesse leggi ma con moti diversi!?

 

A questo punto prima di concludere l’argomento voglio precisare una cosa che va a chiudere tutti i concetti finora trattati.

 

Abbiamo che il principio di Galileo, stabilisce l’equivalenza assoluta di tutti i sistemi di riferimento inerziali, questo può far arrivare alla conclusione che un moto appaia sempre uguale in tutti i sistemi di riferimento?

NO questo ASSOLUTAMENTE NO E’ VERO!.

 

Come abbiamo detto in precedenza se un corpo cade su di un treno in movimento il moto è rettilineo rispetto alla vettura. Per un’ osservatore solidale con le rotaie il moto appare una parabola, eppure le leggi di caduta sono le stesse, come mai allora i moti sono diversi?

 

Il perché è dovuto alle leggi di Newton, esse si esprimono attraverso equazioni differenziali la cui conoscenza non è sufficiente a una completa determinazione del moto.

Per esprimere univocamente il moto di un corpo bisogna aggiungere alle equazioni del moto dei dai supplementari, di solito questi dati sono il modulo del vettore r della velocità e il tempo all’istante t=o, questi nuovi dati in fisica assumono un ruolo FONDAMENTALE e vengono dette CONDIZIONI INIZIALI

 

Così nell’esempio del treno le equazioni differenziali del moto sono le stesse, ma le condizioni iniziali sono differenti: all’interno della vettura il corpo a una velocità V=0 mentre per chi osserva dalle rotaie ( o dal marciapiede) il corpo possiede una velocità V diversa da 0 ( dovuta al moto del treno)

 

Se vogliamo che in tutti e due i sistemi sia in moto che fermo, il moto sia uguale bisogna creare in entrambi le stesse condizioni  iniziali Galileo spiegò questo fatto con l’esempio dato dal vano chiuso di una nave. Il vano deve essere chiuso altrimenti i fenomeni osservati dipendono dalla velocità del vento…

 

Quindi per lo studio di un moto di un corpo di ha bisogno di:

 

1)      collocare il corpo in un sistema di riferimento

2)       trarne le leggi tramite un sistema di coordinate

3)      infine usare le condizioni iniziali.

 

MOTO CORPO = Leggi + Condizioni iniziali

 

 

 Lavoro ed Energia.

 

L’energia è sempre stata fondamentale. fin dall’uomo primitivo, è sempre stato esenziale creare energia o avere energia per fare qualcosa, per esempio lavoro.

Il concetto di “energia “ è strettamente legato all’idea di “ lavoro”, sia  fisico che meccanico.

E’ comune a tutti che se uno si sente stanco, non ha energia per fare un lavoro la prima cosa che fa è mangiare, perché chi ha mangiato ha capacità di compiere lavoro.

 

La fisica non poteva non leggere il lavoro in termini scientifici e matematici arrivando a delle conclusioni importati e affascinanti, come la conservazione dell’energia oppure trovare il modo ricreare energia facendo poco lavoro. Ma iniziamo per gradi.

 

IL LAVORO

Il termine Lavoro in fisica viene tradotto in un significato leggermente diverso dal quotidiano. Esempio: è comune dire che uno studente se studia, diciamo che compie lavoro mentale, in realtà la fisica va oltre e sostiene invece che compie per esempio un calciatore quando colpisce il pallone, oppure una persona che porta delle borse sulle scale. Dove sta la differenza? Che la fisica riconcentra là dove viene applicata una forza ad un oggetto e che si sposta nella direzione della forza. Più intensa è la forza più grande è lo spostamento. Per spostare una cassa su un piano da un punto A  ad un punto B devo applicargli inevitabilmente una spinta cioè una forza lungo la direzione dove voglio mettere la cassa, ecco che compio uno spostamento e quindi dico che ho compiuto un lavoro ( “consumando” dell’energia).

La matematica concretizza questi “sforzi”dicendo che il lavoro è il prodotto della forza applica sulla cassa ( su un oggetto) e lo spostamento compiuto:

L=F.S

questo se la forza applicata coincide con direzione dello spostamento.

Se invece la direzione della forza  F è inclinata, cioè la direzione della forza forma un angolo con la direzione del moto, la forza F deve essere scomposta nelle sue componenti  lungo gli assi X e Y del Sistema di coordinate SC come abbiamo visto nelle precedenti lezioni e la formula subisce una leggera modifica:

Fx=Fcoseno dell’angolo e Fy=Fseno dell’angolo ( seno e coseno sono due funzioni trigonometriche che si studiano in matematica e sono strettamente legati agli angolo, chi è interessato può approfondire la cosa in qualsiasi libro di matematica alla voce trigonometria)

 

Se andiamo a studiare il lavoro più nel dettaglio, in particolare se immaginiamo di fare dei piccoli spostamenti, infinitesimi per esempio sotto una forza variabile , la matematica ci dice che il lavoro è uguale all’area sotto la curva (quella che in matematica si dice funzione)   tracciata dalla traiettoria cioè il moto del corpo che fa sotto l’azione della nostra Forza F. I concetti che stanno dietro a quest’area sono importanti e vanno sotto il concetto di integrale, ma per un accenno fisico della cosa rifermo solo a presentare i fatti, vedi figura 2. Per fare un esempio concreto di una forza variabile è dato dalla forza elastica di una molla quando viene deformata….

 

Osservazioni:

Il lavoro può essere positivo ( cioè maggiore di zero) quando l’angolo della forza applicata al corpo con il piano è Acuto (minore di 90°)

 

 Il lavoro può essere negativo ( cioè minore  di zero) quando l’angolo della forza applicata al corpo con il piano è ottuso (maggiore di 90°)

 

Il lavoro può essere zero quando l’angolo della forza applicata al corpo con il piano è di 90°.

Dalla definizione di lavoro si arriva alla definizione di POTENZA:

“ è ovvio che una macchina è più potente di un animale in quanto una macchina compie lavoro in minor tempo” allora possiamo concludere matematicamente che :

P=L/ dt la potenza è il rapporto tra il lavoro e il tempo.

 

L’ENERGIA

 

L’esperienza ci insegna che la velocità di un corpo aumenta quando la forza ad esso applicata compie Lavoro Positivo. Se il lavoro è negativo la velocità diminuisce. Quindi è naturale pensare che esista una relazione  tra lavoro positivo e negativo compiuto da una forza applicata su di un corpo e la variazione di velocità v.

Se su un corpo C di massa m agisce una forza F di intensità e direzione costante il mot del corpo sarà Naturalmente Uniformemente accelerato e il suo spazio sarà:

S= ½.a.t2: cioè lo spazio sarà un mezzo per l’accelerazione per il tempo al quadrato.

 Ed essendo lo spazio percorso in direzione della forza  il lavoro compiuto sarà: sostituendo

Ad S la relazione trovato e a F la legge di Newton atteniamo

 L=F.S  = (m.a). ½.a.t2, giocando con la matematica sia arriva ad un importate relazione:

3

L=1/2mV2=E,

alla grandezza 1/2mV2 prende il nome di Energia Cinetica

 

DEF:Il lavoro compiuto da  un corpo è la misura della sua energia. E quindi possiamo dire che Un corpo possiede energia quando è in grado di compiere lavoro .

Per ora mi limito solo a questa introduzione.

 

Esiste un importante TEOREMA ( che in questa sede non di mostrerò):

 

Il lavoro di una forza lungo lo spazio percorso dal suo punto di applicazione è uguale alla variazione dell’energia cinetica . E il lavoro totale compiuto dalla forza F risultante agente sopra il corpo quando si sposta da A a B è uguale alla differenza tra L’energia Finale e L’energia Iniziale

Ltot=Ef-Ei.

Il concetto di energia è molto importate e ne conosciamo in varie forme, abbiamo visto che l’energia cinetica è legata al movimento (alla velocità), ma c’è un’altra importante forma di energia che va sotto il nome di ENERGIA POTENZILE  vediamo di cosa si tratta.

 

ENERGIA POTENZIALE

L’energia potenziale è legata alla posizione.

Se mettiamo un libro su di uno scaffale a una certa altezza, esso sta li fermo immobile, in attesa che qualcuno lo sottoponga a qualche tipo di forza per essere spostato. Diciamo che il libro ha immagazzinata un energia dovuta alla sua altezza, (“e potenzialmente può compiere lavoro”)

L’energia Potenziale allora è l’attitudine che ha una corpo di compiere lavoro, a seconda dell’altezza in cui si trova

La relazione matematica che lega questi concetti è ( per non usare la solita lettera E dell’energia cinetica si usa la U), se consideriamo un corpo di peso P=mg ad una altezza h il lavoro sarà L=U=mgh.

Pensate per esempio ad una diga in alta montagna, la massa d’acqua raccolta possiede energia potenziale, è raccolta dalla diga ferma e potenzialmente pronta per compier un lavoro. Infatti se apriamo le porte della diga tutta l’energia che fino ad allora era potenziale scende acquistando velocità e quindi si trasforma in energia Cinetica e successivamente in energia elettrica, che a sua volta accende le lampadine trasformandosi in un altro tipo di energia : il calore.

Questi passaggi di energia sono importati stanno a dimostrare un concetto fondamentale in natura, nulla si crea nulla si distrugge ma tutto si trasforma, alla base di tutto c’è il concetto di conservazione dell’energia e come avevo già accennato precedentemente in fisica trovare forme che si conservano risulta essenziale ed importante.

 

Nella prossima lezione affronteremo i Campi conservativi….